注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

vfleaking的博客

My name is VFlea King

 
 
 

日志

 
 

1034: [ZJOI2008]泡泡堂BNB  

2013-01-21 11:11:45|  分类: 衡阳八中 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

Description

 第XXXX届NOI期间,为了加强各省选手之间的交流,组委会决定组织一场省际电子竞技大赛,每一个省的代表队由n名选手组成,比赛的项目是老少咸宜的网络游戏泡泡堂。每一场比赛前,对阵双方的教练向组委会提交一份参赛选手的名单,决定了选手上场的顺序,一经确定,不得修改。比赛中,双方的一号选手,二号选手……,n号选手捉对厮杀,共进行n场比赛。每胜一场比赛得2分,平一场得1分,输一场不得分。最终将双方的单场得分相加得出总分,总分高的队伍晋级(总分相同抽签决定)。 作为浙江队的领队,你已经在事先将各省所有选手的泡泡堂水平了解的一清二楚,并将其用一个实力值来衡量。为简化问题,我们假定选手在游戏中完全不受任何外界因素干扰,即实力强的选手一定可以战胜实力弱的选手,而两个实力相同的选手一定会战平。由于完全不知道对手会使用何种策略来确定出场顺序,所以所有的队伍都采取了这样一种策略,就是完全随机决定出场顺序。 当然你不想这样不明不白的进行比赛。你想事先了解一下在最好与最坏的情况下,浙江队最终分别能得到多少分。

Input

输入的第一行为一个整数n,表示每支代表队的人数。 接下来n行,每行一个整数,描述了n位浙江队的选手的实力值。 接下来n行,每行一个整数,描述了你的对手的n位选手的实力值。 20%的数据中,1<=n<=10; 40%的数据中,1<=n<=100; 60%的数据中,1<=n<=1000; 100%的数据中,1<=n<=100000,且所有选手的实力值在0到10000000之间。

Output

包括两个用空格隔开的整数,分别表示浙江队在最好与最坏的情况下分别能得多少分。不要在行末输出多余的空白字符。

Sample Input

2
1
3
2
4

Sample Output

2 0
样例说明
我们分别称4位选手为A,B,C,D。则可能出现以下4种对战方式,最好情况下可得2分,最坏情况下得0分。
一 二 三 四
浙江 ??? 结果 浙江 ??? 结果 浙江 ??? 结果 浙江 ??? 结果
一号选手 A C 负 A D 负 B C 胜 B D 负
二号选手 B D 负 B C 胜 A D 负 A C 负
总得分 0 2 2 0


这题是很久以前做的,最近ydc问我怎么做,结果发现自己一直都不会证……
当时PKUSC团体赛的时候……考过这道题……然后我很高兴地发现这题我做过,很开心地写了,然后WA了……
因为记错了解法……
其实是根本没理解吧……

很显然由于双方分数之和相等,所以 第二问答案 = 2 * n - 双方队员交换后的第一问答案。
于是只用考虑第一问。

我是这样做的:
1.从大到小考虑每个人,对于每个人与他能战胜的最厉害的那一个打。(注意是战胜,不允许战平)
2.那么现在剩下的每个我方成员战斗力 <= 对方成员战斗力。能平局的就平局。

这是错的…… 1034: [ZJOI2008]泡泡堂BNB - vfleaking - vfleaking的博客
反例:(by ydc)(orz!!!!!)
我方:3 4
对方:2 4
那么我方的4会去打对方的2,结果我方的3无家可归……
其实4打4,3打2是更优的。

囧……当时我就囧了……那肿么做啊……当时PKUSC时我也因此郁闷死了……回家后看了自己的代码……怎么现在又忘了……
于是滚去看我自己的代码……发现叶徒相似,其实味不同……

1.从小到大考虑每个人,对于每个人与他能战胜的最厉害的那一个打。(注意是战胜,不允许战平)
2.那么现在剩下的每个我方成员战斗力 <= 对方成员战斗力。能平局的就平局。

就红字部分不一样。1034: [ZJOI2008]泡泡堂BNB - vfleaking - vfleaking的博客
吐槽:为啥从小到大就是对的啊!!!
谜之声:你当时做题的时候不知道么!!!
吐槽:当时做题的时候题解说是从小到大,我也就从小到大了啊!!!

我想清楚了…… T_T 我来证下
定义及符号:(Name and Conquer!!!)
蒟蒻:队中最弱的那个成员
东方不胜:不能战胜对方任何一个人的蒟蒻。(允许打平)
X的最神败将:X能战胜的人中最厉害的那一个。
power(X):X的战斗力
x VS y:x和y打
score(x VS y):x和y打,x方获得的分数

要证三个引理:
引理一:若我方蒟蒻不是东方不胜,那么一定存在一组最优解,使得我方蒟蒻与他的最神败将打。
引理二:一定存在一组最优解,把我方的东方不胜都无视掉后的蒟蒻一定与他的最神败将打。
引理三:若每个我方成员战斗力 <= 对方成员战斗力,那么能平局就平局是最优的。

引理三是显然的。
【引理一的证明】
反证法。假设所有最优解中,我方蒟蒻都不跟他的最神败将打,那么取其中一个最优解。
设蒟蒻为v,蒟蒻的最神败将为u。蒟蒻与 s 打,而蒟蒻的最神败将与 t 打。
现在是:
    v VS s, t VS u
考虑换过来的情况:
    v VS u, t VS s
因为v是蒟蒻,所以有:
    power(v) <= power(t)
因为u是蒟蒻的最神败将,所以有:
    power(u) < power(v)
那么合并两个不等式:
    power(u) < power(v) <= power(t)
则t VS u 必为胜。
而v VS u 也必为胜。
所以:
    score(t VS u) = score(v VS u) = 2
所以只用比较:score(v VS s)和score(t VS s)
由于:
    power(v) <= power(t)
所以分数:
    score(v VS s) <= score(t VS s)
所以:
    score(v VS s) + score(t VS u) <= score(v VS u) + score(t VS s)
所以v VS u, t VS s 也是最优解,与假设矛盾。
所以引理一得证。

【引理二的证明】
与引理一类似。仍用反证法:
无视掉东方不胜,符号的定义与引理一的证明相同。
如果t不是东方不胜,那么用引理一可推出矛盾。
如果t是东方不胜,则对于每个k,k是对方的队员有:
    power(t) <= power(k)
又:
    power(u) < power(v)
所以:
    power(t) <= power(u) < power(v)
所以:
    score(t VS u) + 1 <= score(v VS u)
再来比较score(v VS s)和score(t VS s)
考虑一个特殊情况,若:score(v VS s) = 2, score(t VS s) = 0
    则:
        power(s) <= power(u), power(t) < power(s)
    合并:
        power(t) < power(s) <= power(u) < power(v)
    此时:
        score(v VS s) + score(t VS u) = 2 + 0 = 2
        score(v VS u) + score(t VS s) = 2 + 0 = 2
    所以v VS u, t VS s也是最优解,与假设矛盾。
那么排除了这种情况后,必有:
    score(v VS s) <= score(t VS s) + 1
    score(t VS u) + 1 <= score(v VS u)
相加:
    score(v VS s) + score(t VS u) <= score(v VS u) + score(t VS s)
所以v VS u, t VS s也是最优解,与假设矛盾。

由此可以推出泡泡堂定理:
泡泡堂定理:使用上文所述的算法是正确的。
【泡泡堂定理的证明】
由引理一知,如果蒟蒻不是东方不胜,那么跟最神败将打一定不会影响结果。
可以同时删掉这两个人,将答案加2。
由引理二知,如果蒟蒻是东方不胜,那么我们可以先把他扔一边。
这样进行了之后,剩下的全是扔在一边的东方不败。
由引理三,能平局就平局是最优的。
所以该算法是正确的。

至于为什么从大到小考虑是错的,是因为与其对应的引理一、二无法得证。
看来考场上还是要证一遍再写。
没时间证也要对拍 T_T

至此终于证明了一道2011年12月份留下的疑问。
A了不会证 = 记不住 = 考场上不会做 = 白做……
教练说以后我做题都要先证明。其犹是也夫。
  评论这张
 
阅读(1127)| 评论(1)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017